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月食を観ました。

twitterのアイコンも月食させてみました。

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明日は家族の誕生日です。

映画「マリーアントワネット」を借りてきました。
ドレスももちろん素敵ですが、男性の服装も見ていて楽しかったです。
黒い大きなリボンが可愛い。

02-2

後半

まず前回の「自明でないゼロ点はどこに要るか？」を見つけることで
リーマン予想を目に見える形で示し、
その後卒業制作のグラフを得る順序を説明します。


これからの話は全て前半最後の「複素平面」で起こります。

複素数はひとつの数を表すのに二つ矢印が要ります。

複素数でｘとyのような関数をグラフにしようとすると、

ｘに二次元、yに二次元で計四次元が必要になります。

四次元は想像が難しいので、かわりにこんな考え方をします。

「引数氏と値氏」

平行世界（どちらも複素平面）に住んでいる双子です。

まず引数氏について。

右の装置を持って

複素平面をふらふら歩きます

自分の位置と、値氏の位置がわかります。

このｘとyは複素数ではないので、ひとつの平面で表すことができます。

この「関数」に、リーマンのゼータ関数をセットして

出発します。

前半のリーマン予想を思い出すと、

装置の「値」がゼロになっているところがゼロ点です。

引数氏にはそこに★印をつけさせます。

ちなみにこれは自明なゼロ点。

引数氏の世界(＝引数平面)の★印は…

一直線にならびます。

具体的には r ＝1/2。rとは real part のことです。

これがリーマン予想、

「非自明なゼロ点の実数部は1/2である」です。

この直線はCL(クリティカル・ライン)と言います。

予想が正しければ、全てのゼロ点はこの道の上にあります。

今度は値氏について。

引数氏が持っている装置の

「値」の地点にいます。

引数氏の動きにあわせてせっせと走ります。

二人の関係を同時に見てみます。

引数氏には、先程の道(クリティカル・ライン)をまっすぐ歩いてもらいます。

ゼロ点は「値」がゼロになる場所なので、

引数氏がゼロ点を踏むと値氏は

 r 軸と i 軸の交わる(0,0)を通ります。

今度は装置の「関数」をいじってみます。

引数氏には変わらずC.L上を歩かせると、

値氏は…

同じ円を何週もします。

ゼロ点も全てこの円周にあります。

最後に、この関数にさらに Li 関数というものを適用します。

Li 関数は、円をゆるやかにほどきます。

引数氏がC.Lを上ると同時に

ほどけた円はうずの内側に向かいます。

向かう先、つまり「収束点」は πi 。

ゼロ点はその足跡のようなものだと思います。

実はこのうず巻きは下方にもできています。

これを左に90°回転させて、

構図のグラフが得られます。

お疲れさまでした。

数学的な段階はここまでです。

拙い絵と文章で

とても長くなってしまいましたが、

ご覧頂きありがとうございました。

02-1

卒業制作「Riemann!」の構図になったグラフについて

簡単に解説しようと思います。

1 / 私は「素数に憑かれた人たち(ジョン・ダービーシャー著、松浦俊輔訳)」を読んで勉強をしました。

以下の図と文章は同著からの引用か、同著の内容に即しています。

2 / 構図のグラフに辿り着くことが目的ですので、リーマン予想に関する見解はありません。

つたない文章ですが、以上をふまえたうえで、ご覧頂ければ嬉しいです。
文字が読みにくい画像はクリックすると大きくなります。

制作のテーマは「収束」でした。

まず、数学における収束がどんなものか少し説明します。

大雑把に、数学は4つに分類することができます。

収束は「級数」というものの姿で、
「解析学」の住人です。



「級数」
級数とは、どこまでも続く項の足し算です。
項は規則性がある数列です。
リーマン予想の関数もこの形です。

永遠に足してゆくので、全ての級数の答えは
無限大で求めようがない(＝発散する)気がしますが、
答えがひとつの値を示す(＝収束する)ものもあります。

ただ、収束する級数は収束する先はわかっていても

決してそこに辿り着きません。

必ず次の項があり、より収束点に近づかなければならないからです。

著者は解析学のことを、

「極限、つまりある数の列が、ある限界の数へ、決してそこに到達することがなくても、どんどん近づけること」に関する研究だと述べています。

私はそれを読んで地平線に似ていると思い、魅力を感じました。

「リーマン予想」

リーマンのゼータ関数の非自明なゼロ点の実数部は全て1/2である。

この文章を見ただけで敬遠してしまいそうですが、

単語ごとにざっくり解説するとこんな感じです。

自明でないほうのゼロ点がどこにいるのか？という問題がリーマン予想です。

それらが見つかるのは複素平面の上です。

「複素平面」

ｘとyではなく、rとiで表される平面です。

この複素平面に、

先程見たような級数を持ってくるとこんなことが起こります。

「複素解析」

このように、収束する先を
視覚で表すことができます。
私が卒業制作で使用したグラフもこのようなことをしています。


続きます。
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わきむらといいます。
らくがきを載せていくブログです。